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基于鲸鱼优化算法求解置换流水车间调度问题

创作时间:

作者:

@小白创作中心

基于鲸鱼优化算法求解置换流水车间调度问题

引用

CSDN

https://m.blog.csdn.net/qq_59747472/article/details/146093192

置换流水车间调度问题(Permutation Flowshop Scheduling Problem, PFSP)作为经典的组合优化问题，广泛存在于制造业、物流和供应链等领域。其目标是在满足机器加工顺序固定的约束条件下，寻找最优的工件加工序列，以最小化特定性能指标，如最大完工时间(Makespan)。本文研究了基于鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)求解PFSP问题的方法。首先，详细介绍了PFSP问题的数学模型及其求解难度。其次，深入剖析了WOA算法的原理，包括包围猎物、螺旋更新位置和随机搜索三种机制。然后，针对PFSP的特点，设计了一种基于优先规则的初始化策略，并提出了编码方式、适应度函数和邻域搜索策略。最后，通过标准benchmark实例测试，验证了所提出的WOA算法在求解PFSP问题上的有效性和竞争力。

1. 引言

在全球制造业竞争日益激烈的背景下，提高生产效率、降低生产成本是企业生存和发展的关键。调度作为生产管理的重要组成部分，直接影响着生产系统的效率和资源利用率。其中，置换流水车间调度问题(PFSP)因其广泛的应用场景和理论研究价值，受到学术界和工业界的广泛关注。

PFSP问题描述如下：n个工件按照相同的顺序依次通过m台机器进行加工。每个工件在每台机器上只能加工一次，且机器在同一时刻只能加工一个工件。置换流水车间调度的约束在于，所有工件在每台机器上的加工顺序必须相同。问题的目标是寻找一个最优的工件加工序列，使得预定义的性能指标达到最优。常用的性能指标包括最大完工时间(Makespan, Cmax)、总完工时间、总延误时间等。本文重点关注最小化最大完工时间，即寻找一个工件加工序列，使得最后一个工件在所有机器上完成加工的时间最早。

PFSP问题属于NP-hard问题，这意味着当问题规模增大时，求解时间会呈指数级增长。对于大规模的PFSP问题，传统的精确算法，如分支定界法和动态规划法，很难在合理的时间内找到最优解。因此，学者们开始研究各种启发式算法和元启发式算法来求解PFSP问题。

元启发式算法，如遗传算法(Genetic Algorithm, GA)、模拟退火算法(Simulated Annealing, SA)、粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)和蚁群算法(Ant Colony Optimization, ACO)等，已被广泛应用于求解PFSP问题，并取得了较好的效果。近年来，一些新型的元启发式算法也被引入到PFSP问题的研究中，例如灰狼优化算法(Grey Wolf Optimizer, GWO)、樽海鞘群算法(Salp Swarm Algorithm, SSA)和鲸鱼优化算法(Whale Optimization Algorithm, WOA)等。

本文将重点研究基于鲸鱼优化算法求解PFSP问题的方法。WOA算法是一种受座头鲸捕食行为启发的元启发式算法，具有结构简单、参数少、收敛速度快等优点。然而，WOA算法在应用于PFSP问题时，需要根据问题的特点进行改进，以提高算法的性能。

2. 置换流水车间调度问题(PFSP)的数学模型

为了更好地理解PFSP问题，我们首先给出其数学模型。假设有n个工件需要在m台机器上加工，每个工件的加工顺序相同，都是按照机器1到机器m的顺序进行加工。定义以下符号：

$n$：工件数量
$m$：机器数量
$p_{i,j}$：工件$i$在机器$j$上的加工时间
$\pi$：工件的加工序列，$\pi(i)$表示序列中第$i$个工件
$C_{\pi(i),j}$：工件$\pi(i)$在机器$j$上的完工时间

则最大完工时间(Makespan)的计算公式如下：

$$
C_{\pi(1),1} = p_{\pi(1),1} \
C_{\pi(i),1} = C_{\pi(i-1),1} + p_{\pi(i),1}, \quad i = 2, 3, ..., n \
C_{\pi(1),j} = C_{\pi(1),j-1} + p_{\pi(1),j}, \quad j = 2, 3, ..., m \
C_{\pi(i),j} = \max{C_{\pi(i-1),j}, C_{\pi(i),j-1}} + p_{\pi(i),j}, \quad i = 2, 3, ..., n, \quad j = 2, 3, ..., m \
\text{Makespan (Cmax)} = C_{\pi(n),m}
$$

问题的目标是找到一个工件的加工序列$\pi$，使得Makespan最小：

$$
\text{Minimize} \quad C_{\text{max}} = C_{\pi(n),m}
$$

3. 鲸鱼优化算法(WOA)

鲸鱼优化算法(WOA)是由Seyyedali Mirjalili和Andrew Lewis在2016年提出的一种新型元启发式算法。该算法模拟了座头鲸的捕食行为，主要包括三个阶段：包围猎物(Encircling Prey)、螺旋更新位置(Spiral Updating Position)和随机搜索(Search for Prey)。

3.1 包围猎物(Encircling Prey)

座头鲸能够识别猎物的位置并将其包围。由于在优化过程中，最优解的位置是未知的，WOA算法假设当前最优解是目标猎物，其他鲸鱼个体通过以下公式更新位置：

$$
D = |C * X^(t) - X(t)| \
X(t+1) = X^(t) - A * D
$$

其中：

$t$：当前迭代次数
$X^*(t)$：当前最优解的位置向量
$X(t)$：当前鲸鱼个体的位置向量
$A$和$C$是系数向量，计算公式如下：

$$
A = 2 * a * \text{rand()} - a \
C = 2 * \text{rand()} \
a = 2 - t * (2 / \text{Max_iter})
$$

$\text{rand()}$是[0, 1]之间的随机数
$\text{Max_iter}$是最大迭代次数

系数$A$的值随着迭代次数的增加而线性减小，这有助于算法从探索阶段过渡到开发阶段。

3.2 螺旋更新位置(Spiral Updating Position)

座头鲸在捕食时会采用螺旋式游动的方式靠近猎物。WOA算法通过以下公式模拟螺旋式游动：

$$
X(t+1) = D' * \exp(b * l) * \cos(2 * \pi * l) + X^*(t)
$$

其中：

$D' = |X^*(t) - X(t)|$表示鲸鱼个体与当前最优解之间的距离
$b$是一个常数，用于定义螺旋形状
$l$是[-1, 1]之间的随机数

3.3 随机搜索(Search for Prey)

当$|A| >= 1$时，鲸鱼个体将随机搜索猎物，以提高算法的全局搜索能力。位置更新公式如下：

$$
X(t+1) = X_{\text{rand}} - A * D \
D = |C * X_{\text{rand}} - X(t)|
$$

其中：

$X_{\text{rand}}$是种群中随机选择的个体的位置向量

3.4 WOA算法的流程

WOA算法的流程如下：

初始化种群，即随机生成一组鲸鱼个体的位置向量。
计算每个个体的适应度值。
找出当前最优解。
根据公式(1)到(5)更新每个个体的位置。
判断是否满足终止条件，如果满足，则输出最优解；否则，返回步骤2。

4. 基于WOA算法的PFSP问题求解

将WOA算法应用于求解PFSP问题，需要根据PFSP的特点进行适当的改进。主要包括编码方式、初始化策略、适应度函数和邻域搜索策略等方面。

4.1 编码方式

对于PFSP问题，采用基于工件排列的编码方式。每个鲸鱼个体的位置向量代表一个工件的排列顺序。例如，对于一个包含5个工件的PFSP问题，一个可能的编码可以是[3, 1, 5, 2, 4]，表示工件的加工顺序为工件3 -> 工件1 -> 工件5 -> 工件2 -> 工件4。

4.2 初始化策略

为了提高算法的收敛速度和解的质量，采用基于优先规则的初始化策略。常用的优先规则包括：

SPT(Shortest Processing Time): 优先选择加工时间最短的工件。
LPT(Longest Processing Time): 优先选择加工时间最长的工件。
Random: 随机生成工件排列。

在初始化种群时，可以按照一定比例结合使用以上优先规则，例如，20%的个体采用SPT规则初始化，20%的个体采用LPT规则初始化，60%的个体随机初始化。

4.3 适应度函数

适应度函数用于评价每个个体(工件排列)的优劣。对于最小化最大完工时间的PFSP问题，适应度函数可以定义为Makespan的倒数：

$$
\text{Fitness} = 1 / \text{Makespan}
$$

适应度值越大，表示解的质量越好。

4.4 邻域搜索策略

为了提高算法的局部搜索能力，引入邻域搜索策略。常用的邻域搜索策略包括：

Swap: 随机交换序列中两个工件的位置。
Insert: 将序列中某个工件插入到另一个位置。
Invert: 反转序列中一段连续的工件。

在每次迭代过程中，对当前最优解进行邻域搜索，如果找到更好的解，则更新当前最优解。

4.5 WOA算法求解PFSP问题的步骤

初始化：根据4.2节所述的初始化策略，初始化种群。
计算适应度：根据4.3节所述的适应度函数，计算每个个体的适应度值。
更新最优解：找出当前最优解。
位置更新：根据WOA算法的公式(1)到(5)，更新每个个体的位置。需要注意的是，由于编码是基于工件排列的，位置更新后的值需要进行离散化处理，例如采用排序编码的方式。
邻域搜索：对当前最优解进行邻域搜索，如果找到更好的解，则更新当前最优解。
判断终止条件：如果满足终止条件(例如达到最大迭代次数)，则输出最优解；否则，返回步骤2。