高等数学笔记：定积分的应用
高等数学笔记：定积分的应用
定积分的应用
一、近似计算
01 矩形法
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成n个小曲边梯形（底边等长）
用矩形近似小曲边梯形，则其面积近似：
$$
f(x_{i-1}) \Delta x_{i}=f(x_{i-1}) \frac{(b-a)}{n}=y_{i-1} \frac{(b-a)}{n}
$$
导出近似公式：
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=\sum_{i=1}^{n} \frac{b-a}{n} f\left(x_{i-1}\right)=\frac{b-a}{n}\left(y_{0}+y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right)
$$
也可取右端边长为矩形高，得右矩形公式
误差为1/n的同阶无穷小
02 梯形法
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成n个小曲边梯形（底边等长）
用梯形近似小曲边梯形，则其面积近似：
$$
\frac{f(x_{i-1})+f(x_{i})}{2} \Delta x_{i}=\frac{(b-a)\left(y_{i-1}+y_{i}\right)}{2 n}
$$
导出近似公式：
$$
\int_{a}^{b} f(x) d x=\frac{b-a}{2 n}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+2\left(y_{1}+\cdots+y_{n-1}\right)\right]
$$
误差为1/n^2的同阶无穷小
03 抛物线法（辛普森积分法）
从几何意义上考虑，将曲边梯形分成n个小曲边梯形（底边等长）
取n=2m, 相邻两个小曲边梯形上方曲线部分用抛物线近似，
则由$(x_{2 i-2}, y_{2 i-2})$, $(x_{2 i-1}, y_{2 i-1})$, $(x_{2 i}, y_{2 i})$三点
可定出抛物线$y=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma$
$[x_{2 i-2}, x_{2 i}]$上小曲边梯面积形近似为：
$$
\int_{x_{2 i-2}}^{x_{2 i}}\left(\alpha x^{2}+\beta x+\gamma\right) d x=\frac{b-a}{6 m}\left(y_{2 i-2}+4 y_{2 i-1}+y_{2 i}\right)
$$
导出近似公式：
$$
\frac{b-a}{6 m}\left(y_{0}+y_{2 m}+2\left(y_{2}+\cdots+y_{2 m-2}\right)+4\left(y_{1}+\cdots+y_{2 m-1}\right)
$$
误差为1/n^4的同阶无穷小
二、微元法
问题引入
某个量分布在区间[a, b]上，如果有dF=f(x)dx，那么$F=\int_{a}^{b} f(x) d x$
问题是：我们怎样得到f(x)?
微元法
分析在小区间分布的部分量ΔF的线性主部dF来得到f(x)dx
ΔF与dF的差是高阶无穷小o(Δx)
三、几何应用
01 几何应用-面积
(1) 直角坐标系
若$f(x), g(x) \in C[a, b], f(x) \geq g(x)$，
求由$y=f(x), y=g(x), x=a, x=b$所围图形面积。
考虑$[x,x+dx]$上的面积：
$$
\Delta A \approx[f(x)-g(x)] d x \Rightarrow A=\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)] d x
$$
如下图的图形，面积 = ？$\Rightarrow \ A=\int_{c}^{l}[\varphi(y)-\psi(y)] d y$
(2) 参数方程形式
若曲边梯形的曲边方程为参数形式，
$$
\left{\begin{array}{l} x=x(t) \ y=y(t) \end{array} \quad t \in[\alpha, \beta]\right.
$$
(其中$a=x(\alpha), b=x(\beta)$)
则曲边梯形的面积：
$$
A=\int_{a}^{b} y d x=\int_{\alpha}^{\beta} y(t) x^{\prime}(t) d t
$$
(3) 极坐标形式
由曲线$r=r(\theta)$，射线$\theta=\alpha, \theta=\beta$所围成的图形面积A = A=?
考虑$[\theta, \theta+d \theta]$上的面积：
$$
\Delta A \approx \frac{1}{2} r^{2}(\theta) d \theta \Rightarrow A=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^{2}(\theta) d \theta
$$
02 几何应用-体积
(1) 已知截面积的几何体
若几何体的底面与x轴垂直，而在x处平行底面的截面面积为A(x)，
求其体积$V\ (a \leq x \leq b)$
考虑$[x,x+dx]$上的体积
$$
\Delta V \approx A(x)dx\quad\Rightarrow\quad V=\int_{a}^{b}A(x)dx
$$
(2) 旋转体
由曲线$y=f(x)\ (y\geq0)$，直线$x=a,x=b$和x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转
所得几何体（旋转体）的体积。
$$
V=\int_{a}^{b} \pi y^{2} d x=\int_{a}^{b} \pi f^{2}(x) d x
$$
① 曲线$x=x(y)\ (x\geq 0)$绕y轴所得旋转体体积？
② 求旋转体的薄壳法
求曲线$y=y(x)\ (a \leq x \leq b)$下方的曲边梯形绕y轴旋转所得几何体的体积
考虑对应$[x, x+d x]$上的曲边梯形旋转出的体积
$$
\Delta V \approx 2 \pi y x d x\quad\Rightarrow\quad V=\int_{a}^{b} 2 \pi x y(x) d x
$$
03 几何应用-弧长和旋转体侧面积
(1) 弧长
求曲线$y=y(x)$上$a \leq x \leq b$一段的弧长s，回顾弧微分
$$
d s=\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\ d x \quad \Rightarrow \quad s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\ d x
$$
若曲线弧段为$x=x(t), y=y(t)\ (\alpha\leq t \leq\beta)$
$$
d s=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\ d t \quad \Rightarrow \quad s=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\ d t
$$
(2) 旋转体的侧面积
由曲线$y=y(x)\ (a \leq x \leq b)$下方的曲边梯形绕x轴旋转得旋转体的侧面积S= ?
考虑$[x, x+dx]$上曲线所对应的部分侧面积
① 能不能看成圆柱侧面$\Delta S \approx 2\pi ydx\ (不成立)\ \leftarrow$并非线性主部
②$\Delta S \approx 2 \pi y d s=2 \pi y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x \quad\Rightarrow\quad S=\int_{a}^{b} 2 \pi y \sqrt{1+y^{\prime 2}} d x$
四、物理应用
01【做功问题】
内半径1米的半球形水池，将满池水抽尽，需做功多少？
02【压力问题】
底长为a 高为h (单位为m) 的三角形薄板铅直地放入水中，
底边恰在水表平面中，求薄板一个侧面上所受压力。
03【引力问题】
均匀细棒长2l, 质量为M (万有引力常数为G)
① 单位质量的质点A在棒的延长线上距棒中心O点a处。
② 单位质量的质点B在棒的垂直平分线上距O点a处。
求细棒分别对A, B的引力。