泰勒公式（泰勒展开式）通俗+本质详解
泰勒公式（泰勒展开式）通俗+本质详解
泰勒公式是数学分析中的一个重要工具，它允许我们用多项式函数来逼近复杂的函数，从而简化计算和分析过程。本文将从直观的角度解释泰勒公式的基本思想，并逐步推导出其数学表达式，最后介绍泰勒公式的特殊情况——麦克劳林公式。
泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值
所以泰勒公式是做什么用的？
简单来讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)，注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。如果一个非常复杂函数，想求其某点的值，直接求无法实现，这时候可以使用泰勒公式去近似的求该值，这是泰勒公式的应用之一。泰勒公式在机器学习中主要应用于梯度迭代。
1. 问题的提出
多项式是最简单的一类初等函数。关于多项式，由于它本身的运算仅是有限项加减法和乘法，所以在数值计算方面，多项式是人们乐于使用的工具。因此我们经常用多项式来近似表达函数。这也是为什么泰勒公式选择多项式函数去近似表达给定的函数。
2. 近似计算举例
初等数学已经了解到一些函数如：
的一些重要性质，但是初等数学不曾回答怎样来计算它们，以 f(x) = 的近似计算为例：
①. 一次（线性）逼近
利用微分近似计算公式 f(x) f( ) + ( )(x - ) (该式由导数/微分的极限表达公式转换得到)，对 = 0 附近的 f(x) 的线性逼近为： f(x) f(0) + (0) x , 所以 f(x) = 1，所以 f(x) 在 = 0 附近的线性逼近函数 (x) = 1，如下图：
线性逼近优点：形式简单，计算方便；缺点：离原点O越远，近似度越差。
②. 二次逼近
二次多项式 逼近 f(x) = ，我们期望：
= = = 1 = ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的函数值相等 )；
= = = 0 = ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的斜率相等 )；
= = = -1，所以 = ( 即期望在 x = 0 处逼近函数和给定函数的曲率相等 )；
所以 = 1 - ，如下图：
(绿色图像) 比 (蓝色图像) 更大范围内更接近余弦函数 (红色图像)
由上述3次不同程度的函数逼近可以看出：对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式 。
以上就是利用多项式函数去逼近给定函数的一个过程。
3. 泰勒公式的推导
由此引出一个问题：给定一个函数 ，要找一个在指定点 附近与 很近似的多项式函数 ，记为：
使得
并且使得两者误差 可估计。所以要找的多项式应该满足什么条件，误差是什么？
从几何上看， ， 代表两条曲线，如下图：
使它们在 附近很靠近，很明显：
1.首先要求两曲线在 点相交，即
2.如果要靠得更近，还要求两曲线在 点相切，(由图像可以直观看出，相交 [ 棕色和红色图像 ] 和 相切 [ 绿色和红色图像 ]，两曲线在 附近的靠近情况明显差异很大，相切更接近)，即
3.如果还要靠得更近，还要求曲线在 点弯曲方向相同，(如上图，弯曲方向相反 [ 绿色和红色图像 ]；弯曲方向相同[ 蓝色和红色图像 ]，明显在离 很远的地方，弯曲方向相同两函数的差异更小一点)，即
，进而可推想：若在 附近有 ， ，近似程度越来越好。
综上所述，所要找的多项式应满足下列条件：
解释一下上面的转换时如何做的，以上面第三行的二阶导数为例：
第一个箭头的转换：将 求二阶导函数后将 带入，求得
第二个箭头的转换：所以 ，所以
由此，多项式函数 中的系数 可以全部由 表示，则得到：
其中误差为 。 因为是用多项式函数去无限逼近给定的函数，所以两者之间肯定存在一丢丢的误差。
4. 泰勒公式的定义
所以我们就得到了泰勒公式的定义：
如果函数 在含 的某个开区间 内具有直到 阶导数，则对 ，有
其中余项 (即误差) ， 在 与 x 之间。 泰勒公式的余项表达方式有好几种，前面这种表是方法称为n阶泰勒展开式的拉格朗日余项。拉格朗日余项即是n阶泰勒公式又多展开了一阶，n变为n+1。注意，这里的余项即为误差，因为使用多项式函数在某点展开，逼近给定函数，最后肯定会有一丢丢的误差，我们称之为余项。
5. 扩展 —— 麦克劳林公式
是泰勒公式的一种特殊情况：即当 时的泰勒公式。所以将 带入公式，即得：
几个常见的初等函数的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：佩亚诺余项为 的高阶无穷小 ：