求极值问题7种解法及重要不等式之间关系

求极值问题7种解法及重要不等式之间关系

在数学学习中，求极值问题和不等式问题是两个重要的知识点。本文将介绍求极值问题的7种解法以及重要不等式之间的关系，帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。

一道求极值问题

求极值问题以及不等式问题的解法具有类似性，在底层都可归为局部的变化趋势。下面7种方法按照通用性及简单性综合排序。

方法1：一般求导及其优化方法

方法2：三角换元求导

方法3：拉格朗日数乘求偏导

方法4：切点处切线斜率相等

方法5-7利用不等式

基础不等式1：契比雪夫不等式

基础不等式2：琴生不等式

由琴生不等式到均值不等式

由琴生不等式到幂平均不等式

均值不等式是幂平均不等式特例，以及加权幂平均不等式

柯西不等式推广（卡尔松不等式）

方法5：加权二元均值不等式

方法6：权方和不等式

方法7：柯西不等式推广

中学（包括一般竞赛）求极值和不等式问题基本就这些方法。理科平时做一些有效总结，可以省不少时间，可以避免无效做题。但如果出题人不怀好心，从后续课程中找题，尤其是知识库方面，那是没办法。但理科学习最重要的是思维习惯训练，过分依赖做题可以通过考试筛选，但后劲不足、失去乐趣。