余弦定理及其应用的深入剖析
余弦定理及其应用的深入剖析
余弦定理是三角学中的一个基本定理，它揭示了一般三角形中三边平方之间的关系，是勾股定理的推广。本文将深入剖析余弦定理的概念、性质及其在解三角形中的具体应用，通过多个例题和练习帮助读者掌握这一重要数学工具。
余弦定理的基本概念
- 对余弦定理的四点说明
- 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
- 与正弦定理一样，余弦定理揭示了三角形的边角之间的关系，是解三角形的重要工具之一。
- 余弦定理的三个等式中，每一个都包含四个不同的量，它们是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，就可以求出第四个量。
- 运用余弦定理时，若已知三边（求角）或已知两边及夹角（求第三边），则由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的。
对余弦定理推论的理解
余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题。用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角。
例题讲练
探究点1：已知两边及一角解三角形
方法归纳：
已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；
用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长。
已知两边及其夹角解三角形的方法
方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角。
方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角。
[注意] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理。一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便。
练习：
- 在△ABC中，边a，b的长是方程x²－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________。
探究点2：已知三边（三边关系）解三角形
方法归纳
已知三角形的三边解三角形的方法
- 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；
- 再利用余弦定理的推论（或由求得的第一个角利用正弦定理）求出第二个角；
- 最后利用三角形的内角和定理求出第三个角。
[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解。
练习：
- (2018·辽源高二检测) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( )
A．90° B．60°
C．120° ? ? D．150°
探究点3：判断三角形的形状
方法归纳
判断三角形形状的思路
转化为三角形的边来判断
△ABC为直角三角形a²＝b²＋c²或b²＝a²＋c²或c²＝a²＋b²；
△ABC为锐角三角形a²＋b²>c²且b²＋c²>a²且c²＋a²>b²；
△ABC为钝角三角形a²＋b²<c²或b²＋c²<a²或c²＋a²<b²；
按等腰或等边三角形的定义判断。
转化为角的三角函数（值）来判断
若cosA＝0，则A＝90°，△ABC为直角三角形；
若cosA<0，则A为钝角，△ABC为钝角三角形；
若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；
若sin²A＋sin²B＝sin²C，则C＝90°，△ABC为直角三角形；
若sinA＝sinB或sin(A－B)＝0，则A＝B，△ABC为等腰三角形；
若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形。
在具体判断的过程中，注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定。