如何通俗地解释合同矩阵(图文版)

如何通俗地解释合同矩阵(图文版)

同一个二次曲线，在不同基下需要用不同的二次型矩阵表示。这两个二次型矩阵就称为合同矩阵。

1 解释

1.1 直角坐标系

假设我们有这样一个椭圆,它在直角坐标系下的对应方程为

1.2 自然基

下面，我们这个方程用二次型表示为

其中
就是椭圆上的点在自然基下的坐标

既然椭圆可以表示在自然基下，当然也可以表示在非自然基下

假设椭圆在某非自然基的对应方程为
就是椭圆上的点在非自然基下的坐标

1.4 合同矩阵

可以看到，
是同一个椭圆在不同基下对应的二次型,它们就被称为合同矩阵。

而我们知道，若
满足
它们才能称为合同阵,那这又是怎么得来的呢？下面我们就来推导一下

2 验证

假设由自然基到非自然基的过渡矩阵为

首先，根据坐标变换公式有
然后，将这个式子与左边的椭圆方程联立
最后，令
这样，我们就得到了上面那幅图中，曲线在非自然基下的表达式

3 例题

例:已知某曲线
,在直角坐标系下的方程为
,现将坐标系逆时针旋转
,形成新的坐标系
。

求此曲线在
坐标系下的表达式

3.1 分析

本题，我们可以利用合同矩阵的知识来做
(1)首先,将曲线用向量形式，表示在自然基下
(2)然后,利用过渡矩阵，对向量空间进行换基
(3)最后,再将新的基下的曲线写回一般方程的形式

这样，我们可以就利用黄色路径来完成题目

3.2 求解

解:(1)令自然基下的坐标向量为
,则
在自然基下可以表示为
(2)令非自然基的坐标向量为
,则
其中
为旋转矩阵
那么曲线
在非自然基下的表达式为
带入数据,整理后可得
这里的
就是
的合同矩阵
(3)最后将非自然基下这个矩阵方程写回
坐标系,得到曲线
在
下的表达式为