向量的混合积

向量的混合积

向量的混合积

设三向量 $\mathbit{a}，\mathbit{b}，\mathbit{c}$ ，先作向量积 $\mathbit{a}×\mathbit{b}$ ，再作数量积 $(\mathbit{a}×\mathbit{b})\cdot \mathbit{c}$ ，记作 $[abc]$ ，称为三个向量 $a，b，c$ 的混合积.

下面我们来看混合积的坐标表示式.

设

$$
\begin{array}{rl}
\mathbit{a}& =({a}{x},{a}{y},{a}{z})={a}{x}\mathbit{i}+{a}{y}\mathbit{j}+{a}{z}\mathbit{k}，\mathbit{b}=({b}{x},{b}{y},{b}{z})={b}{x}\mathbit{i}+{b}{y}\mathbit{j}+{b}{z}\mathbit{k}，\
\mathbit{c}& =({c}{x},{c}{y},{c}{z})={c}{x}\mathbit{i}+{c}{y}\mathbit{j}+{c}{z}\mathbit{k}，\
\mathbit{a}×\mathbit{b}& =\begin{vmatrix}
\mathbit{i}& \mathbit{j}& \mathbit{k}\
{a}{x}& {a}{y}& {a}{z}\
{b}{x}& {b}{y}& {b}{z}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
{a}{y}& {a}{z}\
{b}{y}& {b}{z}
\end{vmatrix}\mathbit{i}+(-1)\begin{vmatrix}
{a}{x}& {a}{z}\
{b}{x}& {b}{z}
\end{vmatrix}\mathbit{j}+\begin{vmatrix}
{a}{x}& {a}{y}\
{b}{x}& {b}{y}
\end{vmatrix}\mathbit{k}
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{rl}
(\mathbit{a}×\mathbit{b})\cdot \mathbit{c}& =\begin{vmatrix}
{a}{y}& {a}{z}\
{b}{y}& {b}{z}
\end{vmatrix}{c}{x}+(-1)\begin{vmatrix}
{a}{x}& {a}{z}\
{b}{x}& {b}{z}
\end{vmatrix}{c}{y}+\begin{vmatrix}
{a}{x}& {a}{y}\
{b}{x}& {b}{y}
\end{vmatrix}{c}{z}=\begin{vmatrix}
{c}{x}& {c}{y}& {c}{z}\
{a}{x}& {a}{y}& {a}{z}\
{b}{x}& {b}{y}& {b}{z}
\end{vmatrix}\
& =\begin{vmatrix}
{a}{x}& {a}{y}& {a}{z}\
{b}{x}& {b}{y}& {b}{z}\
{c}{x}& {c}{y}& {c}{z}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
{b}{x}& {b}{y}& {b}{z}\
{c}{x}& {c}{y}& {c}{z}\
{a}{x}& {a}{y}& {a}{z}
\end{vmatrix}
\end{array}
$$

由此可得：

$$
[abc]=(a×b)·c=(b×c)·a=(c×a)·b=c·(a×b)=a·(b×c)=b·(c×a)
$$

混合积是一个数 ，它的绝对值表示以向向量 $a、b、c$ 为棱的平行六面体的体积.

若 $\mathbit{a}、\mathbit{b}、\mathbit{c}$ 成右手系时， $[abc]\ge 0$ ；

若 $\mathbit{a}$ 、$\mathbit{b}、\mathbit{c}$ 成左手系时， $[\mathbit{a}\mathbit{b}\mathbit{c}]\le 0$.

事实上，由于 $|\mathbit{a}×\mathbit{b}|=|\mathbit{a}||\mathbit{b}|\sin(\mathbit{a},\mathbit{b})$ , 所以他也表示边长为 $|a|、|b|$ 的平行四边形面积 (见图 5-31)，

向量混合积的物理意义

在高中物理课中知道，带电粒子在磁场中的运动时，会有洛伦兹力，详见高中物理(电磁学)，并且给出了左收法则判断受力的方向：伸开左手，让磁力线穿过首先，四指指向粒子运动的方向，则大拇指的指向就是粒子受力的方向，参考下图

四个物理量：

①$q$:一个点电荷

②$v$:点电荷的运动速度

③$B$:磁场的强度

④$F$:点电荷受到的力

整个表达式的意思是 ：一个粒子$q$在磁场里运动，运动速度$v$和磁场强度$B$之间的夹角为$\theta$，那么粒子会受到洛伦兹力$F$的作用,力$F$的方向垂直于$v$和$B$张成的平面，力的大小是$F=q·(v×B)$

我们不管数学上如何定义向量的内积或向量的叉乘, 我们仅从物理上分析， 因为，$F$是矢量，所以就要求我们，$q·(v×B)$的结果也必须是矢量。在物理里，力的方向采用的是 左手法则 ，而数学里，运算的结果默认采用的是 右手法则 ，所以在数学里，为两则统一，会要求采用左手法则时，前面多一个负号，他表示的是相反的方向。

现在我们把上面矢量换成数学语言：设三向量 $\mathbit{a}，\mathbit{b}，\mathbit{c}$ ，先作向量积 $\mathbit{a}×\mathbit{b}$ ，再作数量积 $(\mathbit{a}×\mathbit{b})·\mathbit{c}$ ，记作 $[abc]$ ，称为三个向量 $a，b，c$ 的混合积.

这就是上面学习的向量的混合积。 有兴趣的可以看附录：麦克斯韦方程组

例题

例1已知 $(\mathbit{a}×\mathbit{b})·\mathbit{c}=2$ ，计算 $[(\mathbit{a}+\mathbit{b})×(\mathbit{b}+\mathbit{c})]·(\mathbit{c}+\mathbit{a})$.

解

$$
\begin{array}{rl}
& [(\mathbit{a}+\mathbit{b})×(\mathbit{b}+\mathbit{c})]·(\mathbit{c}+\mathbit{a})=[\mathbit{a}×\mathbit{b}+\mathbit{a}×\mathbit{c}+\mathbit{b}×\mathbit{b}+\mathbit{b}×\mathbit{c}]·(\mathbit{c}+\mathbit{a})\
& =(\mathbit{a}×\mathbit{b})·\mathbit{c}+(\mathbit{a}×\mathbit{c})·\mathbit{c}+(\mathbit{b}×\mathbit{b})·\mathbit{c}+(\mathbit{b}×\mathbit{c})·\mathbit{c}\
& +(\mathbit{a}×\mathbit{b})·\mathbit{a}+(\mathbit{a}×\mathbit{c})·\mathbit{a}+(\mathbit{b}×\mathbit{b})·\mathbit{a}+(\mathbit{b}×\mathbit{c})·\mathbit{a}\
& =(\mathbit{a}×\mathbit{b})·\mathbit{c}+0+0+0+0+0+0+(\mathbit{a}×\mathbit{b})·\mathbit{c}\
& =2(\mathbit{a}×\mathbit{b})·\mathbit{c}=4.
\end{array}
$$

例2已知空间内不在同一平面上的四点

$A({x}{1},{y}{1},{z}{1}),B({x}{2},{y}{2},{z}{2}),C({x}{3},{y}{3},{z}{3}),D({x}{4},{y}{4},{z}{4})$ 求四面体的体积.

解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 $AB、AC、AD$ 为棱的平行六 面体的体积的六分之一: $V=\frac{1}{6}[ABC]$,

$\text{而}\left{\begin{array}{l}\stackrel{→}{AB}=({x}{2}-{x}{1},{y}{2}-{y}{1},{z}{2}-{z}{1})\ \stackrel{→}{AC}=({x}{3}-{x}{1},{y}{3}-{y}{1},{z}{3}-{z}{1})\ \stackrel{→}{AD}=({x}{4}-{x}{1},{y}{4}-{y}{1},{z}{4}-{z}{1})\end{array}\text{.}$

所以 $V=±\frac{1}{6}\begin{vmatrix}
{x}{2}-{x}{1}& {y}{2}-{y}{1}& {z}{2}-{z}{1}\
{x}{3}-{x}{1}& {y}{3}-{y}{1}& {z}{3}-{z}{1}\
{x}{4}-{x}{1}& {y}{4}-{y}{1}& {z}{4}-{z}{1}
\end{vmatrix}$. 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致

例3已知 $\mathbit{a}=\mathbit{i},\mathbit{b}=\mathbit{j}-2\mathbit{k},\mathbit{c}=2\mathbit{i}-2\mathbit{j}+\mathbit{k}$ ，求一单位向量 $\gamma$ 使 $\gamma \perp \mathbit{c}$ ，且 $\gamma$ 与 $a,b$ 此同时共面.

解 设所求向量 $\gamma =(x,y,z)$. 依题意 $|\gamma |=1,\mathbit{\gamma }\perp \mathbit{c},\mathbit{\gamma }$ 与 $\mathbit{a},\mathbit{b}$ 共面，可得

${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1$

$\gamma \cdot c=0$, 即 $2x-2y+z=0$

将式(1)式(2)与式(3)联立解得 $x=\frac{2}{3}$ 或 $-\frac{2}{3},y=\frac{1}{3}$ 或 $-\frac{1}{3},z=-\frac{2}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$, 所以 $\gamma =±(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$