正交试验设计：一种高效的多因素实验方法

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正交试验设计：一种高效的多因素实验方法

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来源

https://baike.so.com/doc/5356113-5591604.html

正交试验设计是一种研究多因素多水平的实验设计方法，它通过挑选部分有代表性的实验点，实现"均匀分散，齐整可比"的特点。这种方法不仅大大减少了实验次数，还提高了实验效率和经济性。

基本信息

中文名：正交试验设计
外文名：Orthogonal experimental design
研究内容：多因素多水平的实验设计方法
特点：均匀分散，齐整可比
优点：高效率、快速、经济
创始人：田口玄一

概述

日本著名统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如，进行一个三因素三水平的实验，全面实验需要进行3^3 = 27种组合，而使用L9(3)正交表只需进行9次实验，L18(3)正交表进行18次实验，大大减少了工作量。

正交表用L表示，n表示试验次数，t表示水平数，c表示列数，即可能安排最多的因素个数。例如L9(3^4)表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。混合型正交表如L8(4×2)，其中1列为4水平，4列为2水平。

正交表的性质

每列中不同数字出现次数相等。例如，在两水平正交表中，数码"1"与"2"出现次数相等；在三水平正交表中，"1"、"2"、"3"出现次数相等。
任意两列中数字排列方式齐全且均衡。例如，在两水平正交表中，有序对子(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)出现次数相等；在三水平情况下，有序对1.1、1.2、1.3、2.1、2.2、2.3、3.1、3.2、3.3出现次数也相等。

这两点体现了正交表的"均匀分散性，整齐可比"的优越性。每个因素的每个水平与其他因素各水平各碰一次，这就是正交性。正交表的获得有专门算法，应用者不必深究。

实验安排

正交试验设计的关键在于试验因素的安排。在不考虑交互作用的情况下，可以自由地将各个因素安排在正交表的各列，只要不在同一列安排两个因素即可。但是当要考虑交互作用时，就会受到一定的限制，如果任意安排，将会导致交互效应与其它效应混杂的情况。

因素所在列是随意的，但是一旦安排完成，试验方案即确定，之后的试验以及后续分析将根据这一安排进行，不能再改变。对于部分表，如L18(2*3^7)则没有交互作用列，如果需要考虑交互作用需要选择其它的正交表。

极差分析

在完成试验收集完数据后，将要进行的是极差分析（也称方差分析）。极差分析就是在考虑A因素时，认为其它因素对结果的影响是均衡的，从而认为，A因素各水平的差异是由于A因素本身引起的。

用极差法分析正交试验结果应引出以下几个结论：

在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小的排队。某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，使试验指标数值的变化最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排队，就是各列极差D的数值从大到小的排队。
试验指标随各因素的变化趋势。
使试验指标最好的适宜的操作条件（适宜的因素水平搭配）。
对所得结论和进一步研究方向的讨论。

条件选择

各因素的好水平加在一起，是否就是较优试验条件呢？理论上，如果各因素都不受其它因素的水平变动影响的，那么，把各因素的优水平简单地组合起来就是较好试验条件。但是，实际上选取较好生产条件时，还要考虑因素的主次，以便在同样满足指标要求的情况下，对于一些比较次要的因素按照优质、高产、低消耗的原则选取水平，得到更为结合试验和实际要求的较好生产条件。

以上介绍如何分析各因素水平的变动对指标的影响。讨论A因素时，不管其它因素处在什么水平，只从A的极差就可判断它所起作用的大小。对其它因素也作同样的分析，在此基础上选取各因素的较优水平。

实践中发现，有时不仅因素的水平变化对指标有影响，而且，有些因素间各水平的联合搭配对指标也产生影响，这种联合搭配作用称为交互作用。而交互作用应该在试验设计时考虑到。

分析方法

直接对比法：直接对比法就是对试验结果进行简单的直接对比。直接对比法虽然对试验结果给出了一定的说明，但是这个说明是定性的，而且不能肯定地告诉我们最佳的成分组合。显然这种分析方法虽然简单，但是不能令人满意。
直观分析法：直观分析法是通过对每一因素的平均极差来分析问题。所谓极差就是平均效果中最大值和最小值的差。有了极差，就可以找到影响指标的主要因素，并可以帮助我们找到最佳因素水平组合。

基本思想

考虑进行一个三因素、每个因素有三个水平的试验。如果作全面试验，需作3^3 = 27次。

图：正交试验设计示意图

若从27次试验中选取一部分试验，常将A和B分别固定在A1和B1水平上，与C的三个水平进行搭配，A1B1C1,A1B1C2,A1B1C3。作完这3次试验后，若A1B1C3最优，则取定C3这个水平，让A1和C3固定，再分别与B因素的三个水平搭配，A1B2C3,A1B3C3。这2次试验作完以后，若A1B2C3最优，取定B2,C3这两个水平，再作两次试验A2B2C3,A3B2C3,然后与一起比较，若A3B2C3最优，则可断言A3B2C3是我们欲选取的最佳水平组合。这样仅作了7次试验就选出了最佳水平组合。

我们发现，这些试验结果都分布在立方体的一角，代表性较差，所以按上述方法选出的试验水平组合并不是真正的最佳组合。

如果进行正交试验设计，利用正交表安排试验，对于三因素三水平的试验来说，需要作9次试验，用"Δ"表示，标在图中。如果每个平面都表示一个水平，共有九个平面，可以看到每个平面上都有三个"Δ"点，立方体的每条直线上都有一个"Δ"点，并且这些"Δ"点是均衡地分布着，因此这9次试验的代表性很强，能较全面地反映出全面试验的结果，这就是正交实验设计所特有的均衡分散性。我们正是利用这一特性来合理的设计和安排试验，以便通过尽可能少的试验次数，找出最佳水平组合。