利用圆上两点和圆半径求解圆心坐标

利用圆上两点和圆半径求解圆心坐标

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/weixin_41512747/article/details/140013977

已知圆上两点P1，P2，坐标依次为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，圆的半径为$r$，求圆心的坐标。

假设P1，P2为任意两点，则两点连成线段的中点坐标是：

$$
x_{mid} = \frac{x_1+x_2}{2}
$$

$$
y_{mid} = \frac{y_1+y_2}{2}
$$

P1，P2连线的斜率是：

$$
k = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}
$$

P1，P2连线的垂线斜率为：

$$
m = -\frac{1}{k}
$$

则，圆心所在的直线方程是：

$$
y - y_{mid} = m \cdot (x - x_{mid})
$$

圆心$(x_0, y_0)$同时满足：

$$
(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2=r^2
$$

和

$$
y_0-y_{mid} = m \cdot (x_0 - x_{mid})
$$

或

$$
(x_0-x_2)^2+(y_0-y_2)^2=r^2
$$

和

$$
y_0-y_{mid} = m \cdot (x_0 - x_{mid})
$$

将直线方程：

$$
y_0 = m \cdot (x_0 - x_{mid}) - y_{mid}
$$

代入圆的公式，得到：

$$
(x_0-x_1)^2+[m \cdot (x_0-x_{mid})+y_{mid}-y_1]^2=r^2
$$

展开：

$$
x_0^2-2x_0x_1+x_1^2+m^2x_0^2+2mx_0 \cdot (y_{mid}-m \cdot x_{mid}-y_1)+(y_{mid}-m \cdot x_{mid}-y_1)^2=r^2
$$

整理：

$$
(1+m^2)x_0^2+[2m(y_{mid}-m \cdot x_{mid}-y_1)-2x_1] \cdot x_0+(y_{mid}-m \cdot x_{mid}-y_1)^2+x_1^2-r^2 = 0
$$

令：

$$
A = 1+m^2
$$

$$
B = 2m(y_{mid}-m \cdot x_{mid}-y_1)-2x_1
$$

$$
C = (y_{mid}-m \cdot x_{mid}-y_1)^2+x_1^2-r^2
$$

则：

$$
x_0=\frac{-B± \sqrt{B^2-4AC}}{2A}
$$

$$
y_0= m \cdot (x_0-x_{mid})+y_{mid}
$$

下面是Python代码实现：

x_1 = 2
y_1 = 4
x_2 = 4
y_2 = 2
r = 2

if (x_1 - x_2 == 0):
    print('横坐标相同，求解可能出错')
else:
    x_mid = (x_1 + x_2) / 2
    y_mid = (y_1 + y_2) / 2
    k = (y_1-y_2)/(x_1-x_2)
    m = -1/k
    A = 1 + m**2
    B = 2 * m *(y_mid - m * x_mid - y_1)- 2 * x_1
    C = (y_mid - m * x_mid - y_1)**2 + x_1**2 - r**2
    print(A, B, C)
    x_c1 = (-B + ((B**2-4*A*C)**0.5))/(2*A)
    x_c2 = (-B - ((B**2-4*A*C)**0.5))/(2*A)
    y_c1 = m * (x_c1 - x_mid) + y_mid
    y_c2 = m * (x_c2 - x_mid) + y_mid
    print('圆心坐标：',(x_c1,y_c1))
    print('圆心坐标：',(x_c2,y_c2))

运行结果：

圆心坐标： (3.0, 3.0)
圆心坐标： (3.0, 3.0)

这表明，给定的圆上两点和半径条件下，圆心坐标为(3.0, 3.0)。