三阶幻方的公式的推导过程

三阶幻方的公式的推导过程

三阶幻方是一个3×3的方格，里面填上数字，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等。这个神奇的相等的和是如何推导出来的呢？让我们一起来看看。

假设这个三阶幻方里的数字分别是a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33。因为每行的和都相等，设这个相等的和是S。所以就有：

a11+a12+a13=S（1）

a21+a22+a23=S（2）

a31+a32+a33=S（3）

同样，每列的和也相等，那就是：

a11+a21+a31=S（4）

a12+a22+a32=S（5）

a13+a23+a33=S（6）

还有两条对角线：

a11+a22+a33=S（7）

a13+a22+a31=S（8）

把这8个式子加起来，就是：

3(a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33)=8S

由于一个三阶幻方里所有数字的和是：

a11+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

所以3×45=8S，那S就等于15。

知道了和是15，我们再看看中间那个数。把前面那8个式子两两相减，就能发现中间那个数a22出现的次数特别多。比如说（1）-（4），就能得到a12-a21+a13-a31=0，也就是a12+a13=a21+a31。再结合（7）式，就能知道a12+a13+a22=S，那a22不就等于5嘛。

所以中间这个数一定是5。

有了这个中间数是5，其他数字填起来就有方向啦。比如剩下的数字分成两组，1、2、3、4一组，6、7、8、9一组。要让每行每列和对角线的和是15，那就可以试着组合。

像1和9一组，2和8一组，3和7一组，4和6一组。

然后就可以试着填啦，比如左上角填8，右上角填1，左下角填6，右下角填4，再根据和是15调整其他数字的位置。

总之，推导三阶幻方的公式虽然有点小复杂，但弄明白了还挺有意思的。只要多琢磨琢磨，就能发现数学里好多这样好玩的规律！